Question

已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，一動直線l過A(－1，0)與圓C相交于P、Q兩點，

M是PQ中點，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于N.

(1)求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；

(2)當PQ＝2時，求直線l的方程；

(3)探索·是否與直線l的傾斜角有關？若無關，請求出其值；若有關，請說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）x＝－1或4x－3y＋4＝0.（3）－5

【解析】(1)證明：∵l與m垂直，且km＝－，

∴kl＝3.又kAC＝3，所以當l與m垂直時，l的方程為y＝3(x＋1)，l必過圓心C.

(2)【解析】
①當直線l與x軸垂直時，易知x＝－1符合題意．②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因為PQ＝2，所以CM＝＝1，則由CM＝＝1，得k＝，∴直線l：4x－3y＋4＝0.從而所求的直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.

(3)【解析】
∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.

①當l與x軸垂直時，易得N，則＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②當l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，則由

得N，則＝.

∴·＝·＝＝－5.

綜上，·與直線l的斜率無關，且·＝－5.

另【解析】
連結CA并延長交m于點B，連結CM，CN，由題意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四點M、C、N、B都在以CN為直徑的圓上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.