Question

如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求證：l∥BC．
（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BC∥AD，我們可以知道BC∥平面PAD，由于平面PBC∩平面PAD=l，可以證得BC∥l；
（2）要證明MN∥平面PAD．關(guān)鍵是在平面PAD中找出直線(xiàn)與MN平行，由于M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，故可利用取中點(diǎn)的方法求解．

解答：解：（1）證明：因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD．
AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD=l，所以BC∥l（6分）
（2）：平行．如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE、NE，
∵N是PC的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)
∴NE∥CD，且NE=

1

2

CD
∵CD∥AB，M是AB的中點(diǎn)
∴NE∥AM且NE=AM．
所以四邊形AMNE為平行四邊形，
所以MN∥AE．
又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查線(xiàn)線(xiàn)平行，線(xiàn)面平行，證題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定及性質(zhì)定理．