一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示,其中M、N分別是AB、SC的中點(diǎn),P是SD上的一動(dòng)點(diǎn).
(1)求證BP⊥AC;
(2)當(dāng)點(diǎn)P落在什么位置時(shí),AP平行于平面SMC?
(3)求三棱錐B-NMC的體積.
分析:(1)根據(jù)多面體的三視圖和直觀圖,SD⊥底面ABCD,且ABCD為正方形,可以證明AC⊥面SDB,從而BP⊥AC.
(2)當(dāng)P為SD中點(diǎn)時(shí),證明AMNP是平行四邊形,得出AP∥MN,根據(jù)直線和平面平行的判定定理證出AP∥平面SMC.
(3)體積轉(zhuǎn)化:V B-NMC=V N-MCB 則體積易求.
解答:解:(1)根據(jù)多面體的三視圖和直觀圖,SD⊥底面ABCD,且ABCD為正方形,∴AC⊥BD,AC⊥SD,BD∩SD=D,∴AC⊥面SDB.BP?面SDB∴BP⊥AC.
(2)當(dāng)P為SD中點(diǎn)時(shí),AP∥平面SMC.連接PN,MN,∵M(jìn)、N分別是AB、SC的中點(diǎn),∴PN∥CD,PN=
1
2
CD,AM∥CD,AM=
1
2
CD,∴AMNP是平行四邊形,∴AP∥MN,∵AP?面SMC,MN?面SMC,∴AP∥平面SMC
(3)S△MCB=
1
2
×BM×BC=
1
2
×
1
2
×1
=
1
4
,N到面ABCD的高h(yuǎn)=
1
2
SD=1,
∴V B-NMC=V N-MCB=
1
3
S△MCB×h=
1
3
×
1
4
×1
=
1
12
點(diǎn)評(píng):本題考查直線直線,直線和平面的位置關(guān)系,體積的計(jì)算,考查空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力.在有關(guān)于平行的位置關(guān)系時(shí),找平行線是解決問題的一個(gè)重要技巧,一般的“遇到中點(diǎn)找中點(diǎn),平行線即可出現(xiàn)”.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示,其中正視圖和俯視圖均為矩形,側(cè)視圖為直角三角形,M、G分別是AB、DF的中點(diǎn).
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(1)求證:CM⊥平面FDM;
(2)在線段AD上確定一點(diǎn)P,使得GP∥平面FMC,并給出證明;
(3)求直線DM與平面ABEF所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示,其中正視圖和俯視圖均為矩形,側(cè)視圖為直角三角形,M是AB的中點(diǎn).
(1)求證:CM⊥平面FDM;
(2)求二面角F-CM-D的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示,其中M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),G是DF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且DG=λDF(0<λ≤1).

(1)求證:對(duì)任意的λ∈(0,1),都有GN⊥AC;
(2)當(dāng)λ=
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時(shí),求證:AG∥平面FMC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•香洲區(qū)模擬)一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如下:
(1)求證:MN∥平面CDEF;
(2)求證:MN⊥AH;
(3)求多面體A-CDEF的體積.

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