Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，，是常數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)的取值范圍；

（3）證明：，存在，使．

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；

（2）討論a=0，a＞0，a＜0，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值、最值，即可得到a的范圍；（3）設(shè)函數(shù)，計(jì)算g（1），g（e），討論當(dāng) 或 時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，即可得證；當(dāng) 時(shí)，求出g（x）的最小值，判斷它小于0，再由零點(diǎn)存在定理，即可得證．

試題解析：【解析】
（1） ，

函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，即

（2）①時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022706004176128194/SYS201502270600477301968650_DA/SYS201502270600477301968650_DA.016.png">，所以點(diǎn)在第一象限，依題意，

②時(shí)，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，時(shí)，，，從而“，”不成立

③時(shí)，由得，設(shè)，

	－
	↘	極小值	↗

 

，從而，

綜上所述，常數(shù)的取值范圍

（3）直接計(jì)算知

設(shè)函數(shù)

，

當(dāng)或時(shí)，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022706004176128194/SYS201502270600477301968650_DA/SYS201502270600477301968650_DA.049.png">的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以存在，使，即，使；

當(dāng)時(shí)，、，而且、之中至少一個為正，由均值不等式知，，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以有最小值，且

，

此時(shí)存在（或），使。

綜上所述，，存在，使.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；2.導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．