已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2)+(m-2)x(m≤2)
(1)若f(x)在x=0處取得極值,求m的值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)記an=ln(1+
1
32n
),且數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn
1
2
分析:(1)利用f′(0)=0,解得m,再驗(yàn)證即可;
(2))f(x)=
(m-2)x2+2x+(m-2)
1+x2
.△=4(m-1)(3-m).分以下幾種情況討論:
   ①若m=2時(shí),②若 
m<2
△≤0
時(shí),當(dāng)m≤1時(shí),③若1<m<2時(shí),
(3)由(2)知,m=1時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減.當(dāng)x∈(0,+∞),由f(x)<f(0)=0.可得ln(1+x2)<x,對(duì)x取值,再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.
解答:解:(1)f′(x)=
2x
1+x2
+m-2

∵x=0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),∴f′(0)=0,解得m=2,
驗(yàn)證知m=2符合條件.
(2)∵f(x)=
(m-2)x2+2x+(m-2)
1+x2
.△=4(m-1)(3-m).
   ①若m=2時(shí),f(x)=
2x
1+x2

∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;
②若 
m<2
△≤0
時(shí),
當(dāng)m≤1時(shí),f′(x)≤0,
∴f(x)在R上單調(diào)遞減.               
③若1<m<2時(shí),f′(x)=0有兩根,x1=
-1-
m-2
,x2=
-1+
m-2

∴f(x)在(x1,x2)上單調(diào)減;在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)增.
綜上所述,若m≤1時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減;
若m=2時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;
若1<m<2時(shí),f(x)在(x1,x2)上單調(diào)減;在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)增.
(3)由(2)知,m=1時(shí),∴f(x)在R上單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈(0,+∞),由f(x)<f(0)=0.
∴l(xiāng)n(1+x2)<x,
∴Sn=ln(1+
1
32
)+ln(1+
1
34
)+
…+ln(1+
1
32n
)
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
=
1
2
(1-
1
3n
)
1
2
點(diǎn)評(píng):熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論的思想方法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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