Question

如圖，P 是△ABC所在平面外一點，且PA⊥平面ABC．若O和Q分別是△ABC和△PBC的垂心，試證：OQ⊥平面PBC．

Answer 1

證明：∵O是△ABC的垂心，∴BC⊥AE．∵PA⊥平面ABC，根據(jù)三垂線定理得BC⊥PE．
∴BC⊥平面PAE．∵Q是△PBC的垂心，故Q在PE上，則OQ?平面PAE，∴OQ⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BF?平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是△ABC的垂心，
∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC．因而FM是BM在平面PAC內(nèi)的射影．
因為BM⊥PC，據(jù)三垂線定理的逆定理，F(xiàn)M⊥PC，
從而PC⊥平面BFM．又OQ?平面BFM，所以OQ⊥PC．
綜上知OQ⊥BC，OQ⊥PC，
所以OQ⊥平面PBC．
分析：根據(jù)三垂線定理得BC⊥PE，則BC⊥平面PAE，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BF⊥平面PAC，因而FM是BM在平面PAC內(nèi)的射影，據(jù)三垂線定理的逆定理可得FM⊥PC，從而PC⊥平面BFM．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知OQ⊥PC，OQ⊥BC，滿足線面垂直的判定定理．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，以及三垂線定理與逆定理的運用，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．