已知橢圓C：x2+
y2
4
=1，過點M（0，1）的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．
（Ⅰ）若l與x軸相交于點P，且P為AM的中點，求直線l的方程；
（Ⅱ）設點N（0，
1
2
），求|
NA
+
NB
|的最大值．
分析：（Ⅰ）設A（x1，y1），因為P為AM的中點，且P的縱坐標為0，M的縱坐標為1，所以y1=-1，又因為點A（x1，y1）在橢圓C上，所以x1=±
3
2
，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），則
NA
=(x1，y1-
1
2
)，
NB
=(x2，y2-
1
2
)，所以
NA
+
NB
=(x1+x2，y1+y2-1)，則|
NA
+
NB
|  =
(x1+ x2)2+(y1+y2-1)2
，由此進行分類討論，能推導出當直線AB的方程為x=0或y=1時，|
NA
+
NB
|有最大值1．
解答：（Ⅰ）解：設A（x1，y1），
因為P為AM的中點，且P的縱坐標為0，M的縱坐標為1，
所以
y1+1
2
=0，解得y1=-1，（1分）
又因為點A（x1，y1）在橢圓C上，
所以x12+
y12
4
=1，即x12+ 
1
4
=1，解得x1=±
3
2
，
則點A的坐標為（
3
2
，-1）或（-
3
2
，-1），
所以直線l的方程為4
3
x-3y+3=0，或4
3
x+3y-3=0．
（Ⅱ）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），
則
NA
=(x1，y1-
1
2
)，
NB
=(x2，y2-
1
2
)，
所以
NA
+
NB
=(x1+x2，y1+y2-1)，
則|
NA
+
NB
|  =
(x1+ x2)2+(y1+y2-1)2
，
當直線AB的斜率不存在時，
其方程為x=0，A（0，2），B（0，-2），此時|
NA
+
NB
|=1；
當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=kx+1，
由題設可得A、B的坐標是方程組
y=kx+1
x2+
y2
4
=1
的解，
消去y得（4+k2）x2+2kx-3=0，
所以△=（2k）2+12（4+k2）＞0，x1+x2=
-2k
4+k2
，
則y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=
8
4+k2
，
所以|
NA
+
NB
|2=(
-2k
4+k2
)2+(
8
4+k2
-1)2
=
-12k2
(4+ k2)2
+1≤1，
當k=0時，等號成立，即此時|
NA
+
NB
|取得最大值1．
綜上，當直線AB的方程為x=0或y=1時，|
NA
+
NB
|有最大值1．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：x2+
y2
m
=1的焦點在y軸上，且離心率為
3
2
．過點M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓上一點，且滿足
OA
+
OB
=λ
OP
（O為坐標原點），當|
PA
|-|
PB
|＜
3
時，求實數(shù)λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，點P(b，
a
2
)在橢圓上，其左、右焦點為F1、F2．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若
PF1
•
PF2
=
1
2
，過點S(0，-
1
3
)的動直線l交橢圓于A、B兩點，請問在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個定點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的任意一點到它兩個焦點（-c，0），（c，0）的距離之和為2
2
，且它的焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同兩點A，B，且線段AB的中點M不在圓x2+y2=
5
9
內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1（a＞1）的離心率為e，點F為其下焦點，點A為其上頂點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足
AP
•
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2
．
（1）試用a表示m2；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（
1
3
，
1
2
），求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1（a＞1）的離心率為e，點F為其下焦點，點A為其上頂點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足
AP
•
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2
．
（1）試用a表示m2；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（
1
3
，
1
2
），求m的取值范圍．
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案