Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合：

①方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足0＜f′(x)＜1.

（1）判斷函數(shù)f(x)=x+sinx是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；

（2）集合M中的元素f(x)具有下列性質(zhì)：

若f(x)的定義域?yàn)镮，則對(duì)于任意［m,n］I都存在x₀∈［m,n］,使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立.

    請(qǐng)利用這一性質(zhì)證明：方程f(x)-x=0有唯一的實(shí)數(shù)根；

（3）若存在實(shí)數(shù)x₁,使得m中元素f(x)定義域中的任意實(shí)數(shù)a、b都有|a-x₁|＜1和|b-x₁|＜1成立.證明：|f(b)-f(a)|＜2

Answer 1

解：（1）f′(x)=+cosx=(2+cosx),由于1≤2+cosx≤3,

∴0＜≤(2+cosx)≤＜1,

    又f(x)-x=0sinx-x=0sinx=2x,

    由于該方程有實(shí)數(shù)根x=0,

∴f(x)是集合m中的元素.

（2）由集合m的定義可知，集合m中的元素f(x)一定能使方程f(x)-x=0有實(shí)根。下面用性質(zhì)證明解的唯一性。

    假設(shè)f(x)-x=0的實(shí)根多于一個(gè)，設(shè)x₁、x₂皆為該方程的實(shí)根，且x₁≠x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂,

    則f(x₁)=x₁,f(x₂)=x₂,且［x₁,x₂］I.

∴存在x₀∈［x₁,x₂］,使f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)·f′(x₀)=x₂-x₁,

∴f′(x₀)=1這與已知f′(x)＜1矛盾.

∴方程f(x)-x=0有唯一實(shí)數(shù)根.

（3）證明：不妨設(shè)a＜b，由于f(x)是m中的元素，

∴0＜f′(x)＜1,∴f(x)為增函數(shù)，∴f(a)＜f(b).

    令F(x)=f(x)-x,則F′(x)=f′(x)-1,∵f′(x)＜1,

∴F′(x)＜0,即F(x)為減函數(shù)，F(xiàn)(a)＞F(b),

    而f(a)-a＞f(b)-b,f(b)-f(a)＜b-a,

∴|f(b)-f(a)|=f(b)-f(a)＜b-a＜b-x₁+x₁-a≤|b-x₁|+|x₁-a|,

    又|b-x₁|＜1,|a-x₁|＜1,

∴|f(b)-f(a)|＜2.