Question

圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若AM⊥MP，則P點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)．

解答：解：以AB所在直線為x軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-1，0），B（0，1，0），S(0，0，

3

)，M(0，0，

3

2

)，設(shè)P（x，y，0）．于是有

AM

=(0，1，

3

2

)，

MP

=(x，y，-

3

2

)．
由于AM⊥MP，
所以(0，1，

3

2

)•(x，y，-

3

2

)=0，
即y=

3

4

，此為P點(diǎn)形成的軌跡方程，
其在底面圓盤(pán)內(nèi)的長(zhǎng)度為2

1-( 3 4 )2

=

7

2

故答案為

7

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過(guò)建立坐標(biāo)系，將求軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長(zhǎng)的求法．