Question

1．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}\;（n∈{N_+}）$的展開(kāi)式中第五項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比值是10．
（1）求展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和及二項(xiàng)式系數(shù)和；
（2）求展開(kāi)式中x^-1的項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 通過(guò)展開(kāi)式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1得到n值，然后求要求的特征項(xiàng)．

解答 解：（1）由題意，第五項(xiàng)系數(shù)和第三項(xiàng)系數(shù)比值是10，即$\frac{{C}_{n}^{4}•（-2）^{4}}{{C}_{n}^{2}•（-2）^{2}}$=10，
化簡(jiǎn)得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）．
（1）令x=1得各項(xiàng)系數(shù)和為（1-2）⁸=1；二項(xiàng)式系數(shù)和2⁸=256；
（2）通項(xiàng)公式為T_r+1=$（-2）^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{4-\frac{5r}{2}}$，
令4-$\frac{5r}{2}$=-1，則r=2，
所以展開(kāi)式中含x^-1的項(xiàng)的系數(shù)為112；
（3）由2^r-1C₈^r-1≥2^rC₈^r，2^r-1C₈^r-1≥2^r-2C₈^r-2，解得r=5或6，
∴展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T₆=-1792${x}^{-\frac{17}{2}}$，T₇=1792x¹¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是利用已知求出指數(shù)后，找出二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)，根據(jù)x的指數(shù)求特征項(xiàng)．