Question

（Ⅰ）在平面直角坐標系中，已知某點P（x，y），直線l：Ax+By+C=0．求證：點P到直線l的距離．
（Ⅱ）已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，點P（2，0），O為坐標原點，過P的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若向量在向量上的投影為n，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分類討論，利用構(gòu)造直角三角形的方法，可以證明結(jié)論成立；
（Ⅱ）當直線l⊥x軸時，與已知矛盾，設(shè)直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，借助于，可得直線的斜率，從而可得直線l的方程．
解答：（Ⅰ）證明：當A=0，B≠0時，直線l：y=-，點P到直線l的距離d=|+y|；
當A≠0，B=0時，直線l：x=-，點P到直線l的距離d=|+x|
當AB≠0時，如圖，則R（，y），S（）
∴PR=||，PS=||
PQ是直角△PRS斜邊上的高，由三角形面積公式可得PQ==
綜上知，點P到直線l的距離．
（Ⅱ）解：當直線l⊥x軸時，與已知矛盾；
故可設(shè)直線方程：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴，∴ky²-4y-8k=0
∴．
代入拋物線方程可得：
∵，∴cos²θ（x₁x₂+y₁y₂）=-2
∴，
解得tanθ=k=±1
∴l(xiāng)：x±y-2=0
點評：本題考查點到直線距離的證明，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．