Question

事實(shí)證明：總存在正實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得a^b=b^a，請(qǐng)你寫出所有符合條件的a的取值范圍是

（1，e）

．

Answer 1

分析：把等式兩邊取對(duì)數(shù)，變形，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)即可得解．

解答：解：∵a^b=b^a
∴l(xiāng)na^b=lnb^a
又∵a，b是正實(shí)數(shù)
∴blna=alnb
∴

lna

a

=

lnb

b

，
設(shè)函數(shù)f（x）=

lnx

x

，則f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f'（x）＞0，得0＜x＜e；令f'（x）＜0，得x＞e
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減
又當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0且f（x）＞0，
∴f（x）的圖象如圖所示：
又∵a＜b，
∴1＜a＜e．
故答案為：（1，e）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，要求會(huì)用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)性．屬中檔題．