Question

已知數(shù)列a_n=n-16，b_n=（-1）ⁿ|n-15|，其中n∈N^*．
（1）求滿足a_n+1=|b_n|的所有正整數(shù)n的集合；
（2）若n≠16，求數(shù)列

bn

an

的最大值和最小值；
（3）記數(shù)列{a_n b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求所有滿足S_2m=S_2n（m＜n）的有序整數(shù)對(duì)（m，n）．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=|b_n|，把已知通項(xiàng)代入可得關(guān)于n的方程，根據(jù)絕對(duì)值的意義，從而可求符合條件的n
（2）由已知

bn

an

=

(-1)n|n-15|

n-16

，結(jié)合式子的特點(diǎn)，考慮討論n與16的大小關(guān)系及n的奇偶性分別對(duì)已知式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求解最值
（3）結(jié)合b_n=（-1）ⁿ|n-15|，需要考慮n與15的大小對(duì)已知式子去絕對(duì)值，然后討論n的奇偶性代入可求滿足條件的m，n

解答：解：（1）∵a_n+1=|b_n|，
∴n-15=|n-15|，
∴當(dāng)n≥15時(shí)，a_n+1=|b_n|恒成立，
當(dāng)n＜15時(shí)，n-15=-（n-15），
∴n=15
n的集合{n|n≥15，n∈N^*}…．…．…．（4分）
（2）∵

bn

an

=

(-1)n|n-15|

n-16

（i）當(dāng)n＞16時(shí)，n取偶數(shù)

bn

an

=

n-15

n-16

=1+

1

n-16

當(dāng)n=18時(shí)（

bn

an

）_max=

3

2

無最小值
n取奇數(shù)時(shí)

bn

an

=-1-

1

n-16

n=17時(shí)（

bn

an

）_min=-2無最大值  …（8分）
（ii）當(dāng)n＜16時(shí)，

bn

an

=

(-1)n(n-15)

n-16

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

bn

an

=

-(n-15)

n-16

=-1-

1

n-16

n=14時(shí)（

bn

an

）_max=-

1

2

（

bn

an

）_min=-

13

14

當(dāng)n奇數(shù)  

bn

an

=

n-15

n-16

=1+

1

n-16

，n=1，（

bn

an

）_max=1-

1

15

=

14

15

，
n=15，（

bn

an

）_min=0    …（11分）
綜上，

bn

an

最大值為

3

2

（n=18）最小值-2（n=17）…．…..…．（12分）
（3）n≤15時(shí)，b_n=（-1）^n-1（n-15），
a_2k-1b_2k-1+a_2kb_2k=2 （16-2k）≥0，
n＞15時(shí)，b_n=（-1）ⁿ（n-15），
a_2k-1b_2k-1+a_2kb_2k=2 （2k-16）＞0，其中a₁₅b₁₅+a₁₆b₁₆=0
∴S₁₆=S₁₄   m=7，n=8…．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的和的求解，求解中要注意對(duì)所出現(xiàn)式子的化簡(jiǎn)，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用