Question

關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，給出下列四個(gè)題：
①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．
正確命題的序號為________．

Answer 1

①②③④
分析：將方程根的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問題，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得結(jié)論．
解答：解：關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化為（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
①當(dāng)k=-2時(shí)，方程（1）的解為±，方程（2）無解，原方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②當(dāng)k=時(shí)，方程（1）有兩個(gè)不同的實(shí)根±，方程（2）有兩個(gè)不同的實(shí)根±，
即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③當(dāng)k=0時(shí)，方程（1）的解為-1，+1，±，方程（2）的解為x=0，原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④當(dāng)k=時(shí)，方程（1）的解為±，±，方程（2）的解為±，±，
即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．
∴四個(gè)命題都是真命題．
故答案為：①②③④．
點(diǎn)評：本題主要考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．