Question

關于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，給出下列四個題：
①存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根．
正確命題的序號為________．

Answer 1

①②③④
分析：將方程根的問題轉化成函數圖象的問題，畫出函數圖象，結合圖象可得結論．
解答：解：關于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化為（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
①當k=-2時，方程（1）的解為±，方程（2）無解，原方程恰有2個不同的實根；
②當k=時，方程（1）有兩個不同的實根±，方程（2）有兩個不同的實根±，
即原方程恰有4個不同的實根；
③當k=0時，方程（1）的解為-1，+1，±，方程（2）的解為x=0，原方程恰有5個不同的實根；
④當k=時，方程（1）的解為±，±，方程（2）的解為±，±，
即原方程恰有8個不同的實根．
∴四個命題都是真命題．
故答案為：①②③④．
點評：本題主要考查了分段函數，以及函數與方程的思想，數形結合的思想，屬于中檔題．