Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

為奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）若對任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

為奇函數(shù)，且定義域為R，利用f（0）=0，解得a并驗證即可．
（2）先判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再利用奇偶性即可得出：對任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0?對任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）≥f（-2^t）?m•2^t-2≥-2^t，對任意t∈[1，2]恒成立．分離參數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

為奇函數(shù)，且定義域為R，∴f（0）=2a-2=0，解得a=1．
∴f（x）=

2x-1

2x+1

，經(jīng)過驗證此函數(shù)是奇函數(shù)．
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

．∵函數(shù)y=2^x在R上單調(diào)遞增，∴函數(shù)y=

1

2x+1

在R上單調(diào)遞減，∴函數(shù)y=-

2

2x+1

在R上單調(diào)遞增．因此f（x）=

2x-1

2x+1

在R上單調(diào)遞增．
對任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0?對任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）≥f（-2^t），
∴m•2^t-2≥-2^t，對任意t∈[1，2]恒成立．
化為（m+1）≥

2

2t

，對任意t∈[1，2]恒成立．
∵當(dāng)t∈[1，2]時，

1

2

≤

2

2t

≤1，
∴m+1≥1，解得m≥0．
∴m的取值范圍是m≥0．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分離參數(shù)法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．