Question

已知函數(shù)f（x）=cos2x+

3

sin2x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng) x∈[0，

π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若將該函數(shù)圖象向左平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的對(duì)稱(chēng)中心．

Answer 1

分析：（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，然后求通過(guò)函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間，再求函數(shù) f（x）=2sin（2x+

π

6

）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當(dāng) x∈[0，

π

4

]時(shí)，求出

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，然后求函數(shù)f（x）的值域；
（3）將該函數(shù)圖象向左平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心求函數(shù)y=g（x）的對(duì)稱(chēng)中心．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）令u=2x+

π

6

則函數(shù)y=sinu的單調(diào)增區(qū)間為 [-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z（5分）
由 -

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得：
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπk∈Z
函數(shù)y=2sin（2x+

π

6

）的單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
（2）當(dāng) x∈[0，

π

4

]時(shí)，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，2sin（2x+

π

6

）∈[1，2]，
所以函數(shù)f（x）的值域[1，2]．
（3）若將該函數(shù)圖象向左平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（[2（x+

π

4

）+

π

6

]=2sin（2x+

2π

3

）的圖象，
令2x+

2π

3

=kπ．k∈Z  x=-

π

3

 +

kπ

2

  k∈Z．
所以函數(shù)y=g（x）的對(duì)稱(chēng)中心（-

π

3

+

kπ

2

，0） k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，即利用三角函數(shù)的相關(guān)公式對(duì)解析式進(jìn)行整理，由正弦函數(shù)的單調(diào)性和整體思想求解．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的求法，圖象的變換注意x的系數(shù)．