Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，若橢圓上有且只有兩點(diǎn)M、N，使得∠F₁MF₂=∠F₁NF₂=90°．求：
（1）橢圓的離心率；
（2）若橢圓C與直線(xiàn)y=

2

2

的交點(diǎn)是A、B兩點(diǎn)，且△F₁AB的面積為

2

2

，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于橢圓上有且只有兩點(diǎn)M、N，使得∠F₁MF₂=∠F₁NF₂=90°，可得點(diǎn)M，N必定是橢圓的短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)．因此b=c，即可得出e=

c

a

=

1-( b a )2

．
（2）由于橢圓C與直線(xiàn)y=

2

2

的交點(diǎn)是A、B兩點(diǎn)，且△F₁AB的面積為

2

2

，可得

1

2

×

2

2

×|AB|=

2

2

，解得|AB|=2．不妨設(shè)A(1，

2

2

)，代入橢圓的方程可得

1

a2

+

1

2b2

=1，而a²=2b²，解出即可．

解答： 解：（1）∵橢圓上有且只有兩點(diǎn)M、N，使得∠F₁MF₂=∠F₁NF₂=90°，
∴點(diǎn)M，N必定是橢圓的短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)．
∴b=c，
∴e=

c

a

=

1-( b a )2

=

2

2

．
（2）∵橢圓C與直線(xiàn)y=

2

2

的交點(diǎn)是A、B兩點(diǎn)，且△F₁AB的面積為

2

2

，
∴

1

2

×

2

2

×|AB|=

2

2

，
解得|AB|=2．
不妨設(shè)A(1，

2

2

)，
代入橢圓的方程可得

1

a2

+

1

2b2

=1，而a²=2b²，
解得b²=1，a²=2．
∴橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．