Question

3．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-6）=-2，當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0．則給出下列命題：
①f（2016）=-2；  
②x=-6為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在（-9，-6）上為減函數(shù)； 
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4個(gè)根；
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 依題意，可知偶函數(shù)y=f（x）是以6為周期的周期函數(shù)，從而可判斷①②的正誤；當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0⇒函數(shù)y=f（x）在[0，3]上是增函數(shù)⇒函數(shù)y=f（x）在[-3，0]上是減函數(shù)，結(jié)合周期性，可判斷③的正誤；再由其單調(diào)性及周期性可判斷④的正誤．

解答 解：對(duì)于①，令x=-3，由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（-3）=0，
又函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（3）=f（-3）=0．
f（x+6）=f（x），即函數(shù)y=f（x）是以6為周期的周期函數(shù)，
所以f（2016）=f（336×6）=f（0）；
又f（-6）=-2，所以f（0）=-2，
從而f（2016）=-2，即①正確；
對(duì)于②，函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱．周期為6，所以函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸為x=-6，故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂），故函數(shù)y=f（x）在[0，3]上是增函數(shù)，
根據(jù)對(duì)稱性，易知函數(shù)y=f（x）在[-3，0]上是減函數(shù)，故③正確；
對(duì)于④，根據(jù)周期性，函數(shù)y=f（x）在（-9，-6）上為減函數(shù)；
因?yàn)閒（3）=f（-3）=0，又由其單調(diào)性及周期性，
可知在[-9，9]，有且僅有f（3）=f（-3）=f（9）=f（-9）=0，
即方程f（x）=0在[9，9]上有4個(gè)根，故④正確；
綜上所述，四個(gè)命題都正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查根的存在及個(gè)數(shù)判斷，考查轉(zhuǎn)化思想與推理運(yùn)算能力，屬于難題．