(08年衡陽八中理)(12分)如圖,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD.
(1)求二面角A-PB-D的大小,
(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E,使PC⊥平面ADE?若存在,確定E點(diǎn)的位置,若不存在,說明理由.
解析:(1)解法一:聯(lián)結(jié)AC交DB于點(diǎn)O.
∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.
又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.
作OF⊥PB于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AF,則AF⊥PB.
∴∠OFA就是二面角A-PB-D的平面角. …………2分
∵PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA⊥AB.
令PD=AD=2,則在RTABC中,PA=,AB=2.
∴PB=,∴.
∴在RTAOF中,sin,∴.
∴二面角A-PB-D的大小為. …………6分
解法二:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
聯(lián)結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,取PA中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)DG.
∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.
又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.
∵PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA⊥AB.
∴AB⊥平面PAD.
∵PD=AD,G為PA中點(diǎn), ∴GD⊥平面PAB.
故向量分別是平面PBD與平面PAB
的法向量.
令PD=AD=2,則A(2,0,0),C(0,2,0),∴=(-2,2,0).
∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴=(1,0,1). …………4分
∴向量的夾角余弦為,
∴,∴二面角A-PB-D的大小為. …………6分
(2)解法一: 當(dāng)點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時,
有PC⊥平面ADE. …………7分
證明如下:
取PC中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)EH,DH,則有EH∥BC,
又BC∥AD,故有EH∥AD.
∴平面ADE即平面ADHE. …………9分
∵PD=DC,H為PC中點(diǎn), ∴PC⊥DH.
又∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.
∴PC⊥平面ADHE,即PC⊥平面ADE. …………12分
解法二:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.
設(shè)E是線段PB上的一點(diǎn),令.
令PD=AD=2,則P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),
∴(-2,0,2),(2,2,-2),(0,2,-2).
∴.
∴.
…………10分
令2(-)=0,得.
∴當(dāng),即點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時,有AE⊥PC.
又∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.
∴當(dāng)點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時,有PC⊥平面ADE. …………12分
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(08年衡陽八中理) (12分) 在△ABC中,A,B,C是三角形的三內(nèi)角,a,b,c是三內(nèi)角對應(yīng)的三邊,已知
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(08年衡陽八中理) (12分) 甲、乙兩名射擊運(yùn)動員,甲射擊一次命中10環(huán)的概率為,乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s,若他們各自獨(dú)立地射擊兩次,設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為ξ,且ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=,表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對值.
(1)求s的值及的分布列,
(2)求的數(shù)學(xué)期望.
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(08年衡陽八中理)(13分) 已知,若數(shù)列{an}
成等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)an;
(2)設(shè) 若{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,且 求證:
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