Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊DC上的任意一點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)時(shí)，證明：EF∥平面PAC；
（2）證明：無論點(diǎn)E在DC邊的何處，都有AF⊥EF；
（3）求三棱錐B-AFE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理、線面平行的判定定理即可證明．
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD．利用矩形的性質(zhì)可得：CD⊥AD．即可證明CD⊥平面PAD，可得AF⊥CD．利用等腰三角形的性質(zhì)可得：AF⊥PD．
即可證明AF⊥平面PCD．于是AF⊥EF．
（3）作FG∥PA交AD于G，則FG⊥平面ABCD，利用V_B-AEF=V_F-AEB=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}$•FG即可得出．

解答 證明：（1）∵E、F分別為DC、PD的中點(diǎn)，
∴EF∥PC．
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD．
∵AD∩AP=A，AD?平面PAD，P A?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD．
又AF?平面PAD，
∴AF⊥CD．
又PA=AD，點(diǎn)F是PD中點(diǎn)，
∴AF⊥PD．
∵CD∩PD=D，CD?平面 PCD，PD?平面 PCD，
∴AF⊥平面PCD．
∵EF?平面PCD，
∴AF⊥EF．
解：（3）作FG∥PA交AD于G，則FG⊥平面ABCD，且$FG=\frac{1}{2}$．
又${S_{△ABE}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${V_{B-AEF}}={V_{F-AEB}}=\frac{1}{3}{S_{△ABE}}FG=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，
∴三棱錐B-AFE的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面平行與垂直的判定、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．