Question

已知|

AC

|=5，|

AB

|=8，

AD

=

5

11

DB

，

CD

•

AD

=0，
（1）求|

AB

-

AC

|；
（2）設(shè)∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)=

4

5

，-π＜x＜-

π

4

，求sinx．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的充要條件判斷出A，B，D共線，求出AD；利用向量垂直的充要條件判斷出CD，AD垂直，
利用余弦定理求出BC，即|

AB

-

AC

|
（2）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出sin(

π

3

+x)，將角x用x+

π

3

-

π

3

表示，利用兩角差的正弦公式求出sinx．

解答：解：（1）由已知，|

AD

|=

5

16

|

AB

|=

5

2

，且

CD

•

AD

=0，即CD⊥AD，
所以cos∠BAC═

1

2

，由余弦定理，|

AB

-

AC

|=|

BC

|=

52+82-2×5×8× 1 2

=7；

（2）由（1），cosθ=

1

2

，θ=

π

3

，cos(θ+x)=cos(

π

3

+x)=

4

5

，
所以sin(

π

3

+x)=±

3

5

，而-π＜x＜-

π

4

，-

2π

3

＜

π

3

+x＜

π

12

，
如果0＜

π

3

+x＜

π

12

，則sin(

π

3

+x)＜sin

π

12

＜sin

π

6

=

1

2

＜

3

5

，
所以sin(

π

3

+x)=-

3

5

，此時sinx=sin[(

π

3

+x)-

π

3

]=-

3+4 3

10

．

點評：本題考查向量共線的充要條件、向量垂直的充要條件、三角形的余弦定理、三角函數(shù)的平方關(guān)系、
將未知角用已知角表示從而將未知的三角函數(shù)用已知的三角函數(shù)表示．