Question

已知函數(shù)f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若數(shù)列x_n的項滿足x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，試求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想數(shù)列x_n的通項，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．我們可以構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即得到函數(shù)f（x）的表達式；
（2）根據(jù)x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，我們分別令n=1，2，3，4，即可法求出x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）根據(jù)（2）中數(shù)列的前4項，分析他們之間呈現(xiàn)的規(guī)律，歸納推理后，即可得到數(shù)列x_n的通項公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法，即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）∵f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
∴

b+1

(a+1)2

=log₁₆2=

1

4

，

-2b+1

(-2a+1)2

=1
解得：

a=1 b=0

∴函數(shù)f(x)=

1

(x+1)2

（2）由（1）中f(x)=

1

(x+1)2

∴x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，
當(dāng)n=1時，x1=

3

4

．
當(dāng)n=2時，x2=

4

6

，
當(dāng)n=3時，x3=

5

8

，
當(dāng)n=4時，x4=

6

10

（3）由（2）中結(jié)論我們易得：xn=

n+2

2(n+1)

．
當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立
設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即xk=

k+2

2(k+1)

則當(dāng)n=k+1時，xk+1=xk•[1-

1

(k+2)2

]=

k+2

2(k+1)

•[1-

1

(k+2)2

]=

(k+2)+1

2[(k+1)+1]

即n=k+1時，結(jié)論也成立．
故xn=

n+2

2(n+1)

．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求出及數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．