Question

函數(shù)f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由函數(shù)f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函數(shù)可以得到兩個信息：
①對任意的1≤x₁＜x₂，總有f（x₁）＜f（x₂）；
②當(dāng)x≥1時，x+8-

a

x

＞0恒成立．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴對任意的1≤x₁＜x₂，有f（x₁）＜f（x₂），
即log9(x1+8-

a

x1

)＜log9(x2+8-

a

x2

)，
得x1+8-

a

x1

＜x2+8-

a

x2

，即(x1-x2)(1+

a

x1x2

)＜0，
∵x₁-x₂＜0，∴1+

a

x1x2

＞0，

a

x1x2

＞-1，a＞-x₁x₂，
∵x₂＞x₁≥1，∴要使a＞-x₁x₂恒成立，只要a≥1；
又∵函數(shù)f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴1+8-a＞0，
即a＜9，綜上a的取值范圍為[-1，9）．

另解：（用導(dǎo)數(shù)求解）令g(x)=x+8-

a

x

，
函數(shù)f(x)=log9(x+8-

a

x

)在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g(x)=x+8-

a

x

在[1，+∞）上是增函數(shù)，g′(x)=1+

a

x2

，
∴1+8-a＞0，且1+

a

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，得-1≤a＜9．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1是對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減．