Question

15．（1）已知直線l的縱截距為-1，傾斜角是直線l₁：3x+4y-1=0的傾斜角的一半，求直線l的方程．
（2）已知直線l過點A（-2，4），分別交x軸、y軸于點B、C且滿足$\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設出已知直線的傾斜角2α，得到tan2α的值，進一步求出tanα的值，由直線方程的斜截式得答案；
（2）設出B、C的坐標，得到$\overrightarrow{BA}、\overrightarrow{AC}$的坐標，由$\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$求得直線l的橫截距和縱截距，由截距式方程得答案．

解答 解：（1）設直線3x+4y-5=0的傾斜角為2α，
則所求直線的傾斜角為α，
由題意知tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{4}$，
∵0≤2α＜π，∴0≤α＜$\frac{π}{2}$，
∴k=tanα=3或k=tanα=-$\frac{1}{3}$（舍去）．
∴所求直線方程為：y=3x-1，
即3x-y-1=0；
（2）如圖，由$\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，可知直線l交x軸于負半軸，交y軸于坐標軸．
設B（a，0），C（0，b），又A（-2，4），
則$\overrightarrow{BA}=（-2-a，4），\overrightarrow{AC}=（2，b-4）$，
由$\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，得$（-2-a，4）=（1，\frac{b-4}{2}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2-a=1}\\{4=\frac{b-4}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$．
∴直線l的方程為$\frac{x}{-3}+\frac{y}{12}=1$，即4x-y+12=0．

點評 本題考查直線的傾斜角，考查了傾斜角與斜率的關系，考查平面向量的坐標運算，訓練了直線方程的求法，是基礎題．