對于△ABC內(nèi)的任何一點M，為了確定M的具體位置f（M），采用如下記法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，現(xiàn)有△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
且∠A=30°，設M是△ABC內(nèi)的一點（不在邊界上），當f(M)=(x，y，
1
2
)，那么
1
x
+
4
y
的最小值為
18
18
．
分析：由向量的數(shù)量積公式得|
AB
|•|
AC
|•cos∠BAC=2
3
，從而|
AB
||
AC
|=4，再由題意得x+y的值，最后利用“1的代換”化簡，結(jié)合基本不等式求最值即可得答案．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，
所以由向量的數(shù)量積公式得|
AB
|•|
AC
|•cos∠BAC=2
3
，
∴|
AB
||
AC
|=4，
∵S△ABC=
1
2
|
AB
|•|
AC
|•sin∠BAC=1，
由題意得，x+y=1-
1
2
=
1
2
．
∴
1
x
+
4
y
=2（
1
x
+
4
y
）（x+y）=2（5+
y
x
+
4x
y
≥2（5+2
y
x
•
4x
y
）=18，
等號在x=
1
6
，y=
1
3
取到，所以最小值為18．
故答案為：18．
點評：本題考查基本不等式的應用和向量的數(shù)量積，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用，屬于中檔題．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

對于△ABC內(nèi)的任何一點M，為了確定M的具體位置f（M），采用如下記法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，現(xiàn)有△ABC滿足數(shù)學公式•數(shù)學公式=數(shù)學公式且∠A=30°，設M是△ABC內(nèi)的一點（不在邊界上），當數(shù)學公式，那么數(shù)學公式的最小值為________．

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