Question

【題目】已知過定點，且與直線：相切的動圓圓心為.

（Ⅰ）求圓心的軌跡方程；

（Ⅱ）過點作直線與軌跡交于、兩點，交直線于點，中點記為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）16

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義可知，圓心的軌跡是以為焦點，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，再求得，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式運算后，根據(jù)基本不等式可得最小值.

（Ⅰ）由題意可知，圓心到點的距離等于它到直線：的距離，

所以圓心的軌跡是以為焦點，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，

所以所求軌跡的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去得，

設(shè)，則，所以，

易得，

所以

（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號）

所以的最小值為16