Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時，求證：函數(shù)f（x）有且僅有一個極值點；
（2）若對于任意的x₁，x₂∈[e，+∞]且x₁≠x₂，有不等式$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對數(shù)，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，從而判斷函數(shù)f（x）有且僅有一個極值點；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞-x²-lnx-2在[e，+∞）恒成立，令g（x）=-x²-lnx-2，通過求導(dǎo)得到g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 （1）證明：a=0時，f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{{-x}^{2}-lnx+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=-x²-lnx+1
h′（x）=-2x-$\frac{1}{x}$＜0，
∴f′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
而f′（1）=0，
∴x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴函數(shù)f（x）有且僅有一個極值點；
（2）解：f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{-x}^{2}-lnx+1-a}{{x}^{2}}$，（x＞0）
若對于任意的x₁，x₂∈[e，+∞]且x₁≠x₂，有不等式$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜-1恒成立，
即-x²-lnx+1-a＜-1在x∈[e，+∞）恒成立，
即a＞-x²-lnx-2在[e，+∞）恒成立，
令g（x）=-x²-lnx-2，g′（x）=-2x-$\frac{1}{x}$＜0，
∴g（x）在[e，+∞）遞減，g（x）_最大值=g（e）=-e²-3，
∴a＞-e²-3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性．極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．