Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b=1，c=2，∠C=60°，若D是邊BC上一點(diǎn)且∠B=∠DAC，則AD=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$．

Answer 1

分析 在△ABC中使用正弦定理解出B，得出sin∠ADC，在△ACD中使用正弦定理解出AD．

解答 解在△ABC中，由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{1}{sinB}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．∴cosB=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
∴sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{8}$．
∵∠B=∠DAC，∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC．
∴sin∠ADC=sin∠BAC=$\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{8}$．
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{AD}{sinC}$，即$\frac{1}{\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{8}}=\frac{AD}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得AD=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．