Question

11．己知函數(shù)f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{e^x}（{a≠0}）$（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），h（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)g（x）=$\frac{1}{2}[{f（x）+h（x）}]-\frac{1}{2}\left|{f（x）}\right.-h（x）\left|{-c{x^2}}$，．已知直線y=$\frac{x}{e}$是曲線y=f（x）的切線，且函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（i）求實(shí)數(shù)a的值；
（ii）求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）（i）根據(jù)切線方程求出a的值即可；（ii）問題轉(zhuǎn)化為$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出c的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{{a{x^2}}}{e^x}（a≠0）$，
∴$f'（x）=a（2x{e^{-x}}-{x^2}{e^{-x}}）=ax（2-x）{e^{-x}}=\frac{ax（2-x）}{e^x}$，
①當(dāng)a＞0時(shí)，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，在x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是減函數(shù)，在（0，2）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，在x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)；…（4分）
（Ⅱ）（i）對f（x）求導(dǎo)，得$f'（x）=\frac{ax（2-x）}{e^x}$，
設(shè)直線$y=\frac{x}{e}$與曲線y=f（x）切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0}{e}=\frac{ax_0^2}{{{e^{x_0}}}}\\ \frac{1}{e}=\frac{{a{x_0}（{2-{x_0}}）}}{{{e^{x_0}}}}\end{array}\right.$解得a=x₀=1，∴a=1；             …（7分）
（ii）記函數(shù)ϕ（x）=f（x）-h（x）=$\frac{x^2}{e^x}-（x-\frac{1}{x}）$，x＞0，
求導(dǎo)，得$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$，
當(dāng)x≥2時(shí)，ϕ'（x）＜0恒成立，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，$x（2-x）≤{[\frac{x+（2-x）}{2}]^2}=1$，
∴$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$$≤\frac{1}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}＜1-1-\frac{1}{x^2}＜0$，
∴ϕ'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故ϕ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
又$ϕ（1）=\frac{1}{e}＞0$，$ϕ（2）=\frac{4}{e^2}-\frac{3}{2}＜0$，
曲線ϕ（x）=f（x）-h（x）在[1，2]上連續(xù)不間斷，
∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知，?唯一的x₀∈（1，2），使ϕ（x₀）=0．
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，ϕ（x）＞0，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，ϕ（x）＜0．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，$g（x）=\frac{1}{2}[f（x）+h（x）]-\frac{1}{2}|f（x）-h（x）|-c{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{x}-c{x^2}，0＜x≤{x_0}\\ \frac{x^2}{e^x}-c{x^2}，x＞{x_0}\end{array}\right.$
求導(dǎo)，得$g'（x）=\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1}{x^2}-2cx，\;0＜x≤{x_0}\\ \frac{x（2-x）}{e^x}-2cx，\;x＞{x_0}.\end{array}\right.$
由函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且曲線y=g（x）在（0，+∞）上連續(xù)不斷知：
g'（x）≥0在（0，x₀]，（x₀，+∞）上恒成立．
①當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-2cx≥0在（x₀，+∞）上恒成立，
即$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立，
記$u（x）=\frac{2-x}{e^x}$，x＞x₀，則$u'（x）=\frac{x-3}{e^x}$，x＞x₀，
當(dāng) x變化時(shí)，u'（x），u（x）變化情況列表如下：

x	（x0，3）	3	（3，+∞）
u'（x）	-	0	+
u（x）	↓	極小值	↑

∴u（x）_min=u（x）_極小值=u（3）=$-\frac{1}{e^3}$，
故“$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）_min=$-\frac{1}{e^3}$，即$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$．
②當(dāng)x∈（0，x₀]時(shí)，g'（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2cx，
當(dāng)c≤0時(shí)，g'（x）＞0在x∈（0，x₀]上恒成立，
綜合①②知，當(dāng)$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故實(shí)數(shù)c的取值范圍是$（-∞，\;-\frac{1}{{2{e^3}}}]$．               …（14分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．