Question

已知雙曲線的左右兩個焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，P是它左支上的一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為d．
（1）若y=x是已知雙曲線的一條漸近線，是否存在P點(diǎn)，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列？若存在，寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（2）在已知雙曲線的左支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列的P點(diǎn)存在時(shí)，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題中條件，根據(jù)漸近線方程求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系求得e；進(jìn)而根據(jù)求得|PF₂|=2|PF₁|，求得準(zhǔn)線方程，表示出|PF₁|和|PF₂|，根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₁|=-（a+ex），|PF₂|=a-ex，進(jìn)而求得x，代入雙曲線方程求得y，則P點(diǎn)坐標(biāo)可得．
（2）根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₁|=ed，|PF₂|=|PF₁|+2a=ed+2a，進(jìn)而根據(jù)d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列推斷（ed）²=ed²+2ad，將e=和P的坐標(biāo)代入根據(jù)x₁≤-a，求得 a²+2ac-c²≥0整理后可求得離心率e的范圍．
解答：解：（1）假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題中條件．
∵雙曲線的一條漸近線為y=x，∴=，b=a，∴b²=3a²，c²-a²=3a²，e==2．
由=2得，
|PF₂|=2|PF₁|①
∵雙曲線的兩準(zhǔn)線方程為x=±，
∴|PF₁|=|2x+2|=|2x+a|，|PF₂|=|2x-|=|2x-a|．
∵點(diǎn)P在雙曲線的左支上，
∴|PF₁|=-（a+ex），|PF₂|=a-ex，代入①得：a-ex=-2（a+ex），
∴x=-，代入雙曲線方程得y=±．
∴存在點(diǎn)P使d、|PF1|、|PF2|成等比數(shù)列，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-，±）．
（2）|PF₁|=ed，
∵d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列
∴（ed）²=ed²+2ad  由（1）得x₁=，將e=和P的坐標(biāo)代入．．
因?yàn)閤₁≤-a．整理可得 a²+2ac-c²≥0
兩邊同除c²．得e²-2e-1≤0．所以1-＜e＜+1
∵e＞1
∴e∈（1，1+）
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．