Question

在股票市場(chǎng)上，投資者常參考股價(jià)（每一股的價(jià)格）的某條平滑均線(xiàn)（記作MA）的變化情況來(lái)決定買(mǎi)入或賣(mài)出股票．股民老王在研究股票的走勢(shì)圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)一只股票的MA均線(xiàn)近期走得很有特點(diǎn)：如果按如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系xoy，則股價(jià)y（元）和時(shí)間x的關(guān)系在ABC段可近似地用解析式y(tǒng)=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）來(lái)描述，從C點(diǎn)走到今天的D點(diǎn)，是震蕩筑底階段，而今天出現(xiàn)了明顯的筑底結(jié)束的標(biāo)志，且D點(diǎn)和C點(diǎn)正好關(guān)于直線(xiàn)l：x=34對(duì)稱(chēng)．老王預(yù)計(jì)這只股票未來(lái)的走勢(shì)如圖中虛線(xiàn)所示，這里DE段與ABC段關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，EF段是股價(jià)延續(xù)DE段的趨勢(shì)（規(guī)律）走到這波上升行情的最高點(diǎn)F．
現(xiàn)在老王決定取點(diǎn)A（0，22），點(diǎn)B（12，19），點(diǎn)D（44，16）來(lái)確定解析式中的常數(shù)a，b，ω，φ，并且已經(jīng)求得ω=

π

72

．
（1）請(qǐng)你幫老王算出a，b，φ，并回答股價(jià)什么時(shí)候見(jiàn)頂（即求F點(diǎn)的橫坐標(biāo)）；
（2）老王如能在今天以D點(diǎn)處的價(jià)格買(mǎi)入該股票5000股，到見(jiàn)頂處F點(diǎn)的價(jià)格全部賣(mài)出，不計(jì)其它費(fèi)用，這次操作他能賺多少元？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)C，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，得到關(guān)于a，b，φ的方程組，解此方程組即得：a=6，b=19，φ=

5π

6

．于是可寫(xiě)出ABC段的解析式，由對(duì)稱(chēng)性得，也可得到DEF段的解析式，最后由解析式得出何時(shí)y值最大，從而得到當(dāng)x=92時(shí)，股價(jià)見(jiàn)頂．
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故可計(jì)算出這次操作老王能賺多少元．

解答：解：（1）∵C，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2×34-44，16），即（24，16），把A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，得

22=asinφ+b  & &① 19=asin( π 6 +φ)+b  &② 16=asin( π 3 +φ)+b  &③

．

②-①得a[sin(

π

6

+φ)-sinφ]=-3，③-①得a[sin(

π

3

+φ)-sinφ]=-6，∴2sin(

π

6

+φ)-2sinφ=sin(

π

3

+φ)-sinφ∴cosφ+

3

sinφ=

3

2

cosφ+

3

2

sinφ．∴(1-

3

2

)cosφ=(

3

2

-

3

)sinφ=

3

(

3

2

-1)sinφ，∴tanφ=-

3

3

∵0＜φ＜π∴φ=π-

π

6

=

5π

6

，代入②得b=19，再由①得a=6．∴a=6，b=19，φ=

5π

6

．
于是，ABC段的解析式為y=6sin(

π

72

x+

5π

6

)+19，由對(duì)稱(chēng)性得，DEF段的解析式為y=6sin[

π

72

(68-x)+

5π

6

]+19．∴

π

72

(68-xF)+

5π

6

=

π

2

，解得x_F=92．∴當(dāng)x=92時(shí)，股價(jià)見(jiàn)頂．
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故這次操作老王能賺5000×（25-16）=45000元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用．