Question

（本小題滿分13分）某市“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進行了實地調(diào)研，據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為.現(xiàn)已知相距的，兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為正數(shù),，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè).
(1) 試將表示為的函數(shù)；
(2) 若時,在處取得最小值，試求的值.

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）設(shè)點C受A污染源污染指數(shù)為，
點C受B污染源污染指數(shù)為，
其中k為比例系數(shù)，且k＞0,
從而點C處污染指數(shù).                         ……5分
（2） 因為，所以，，=，
令=0，得，
當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增.
∴當時，函數(shù)取得最小值，又此時，解得，
經(jīng)驗證符合題意.
所以，污染源B的污染強度的值為.                            ……13分
考點：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最值問題，考查了學(xué)生從實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力和分類討論思想的應(yīng)用以及運算求解能力.
點評：從實際問題中抽象數(shù)學(xué)模型時，一定不要忘記函數(shù)的實際定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，要把單調(diào)性說清楚，必要時可以畫表格輔助說明.