Question

經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）作直線l，交橢圓

x2

16

+

y2

4

=1于A，B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，作差運(yùn)用平方差公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，求出斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，求出直線方程，再檢驗(yàn)與橢圓方程，消去x，得到y(tǒng)的方程，即可判斷．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

16

+

y12

4

=1，

x22

16

+

y22

4

=1，
兩式相減，可得，

(x1-x2)(x1+x2)

16

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0，
又點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
則直線l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

2

，
則有直線l：y-1=-

1

2

（x-2）．即為x+2y-4=0．
聯(lián)立橢圓方程x²+4y²=16，消去x，得到8y²-16y=0，方程有兩解，
則所求直線為x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦所在直線方程，考查直線的斜率公式，及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．