Question

已知長方形EFCD，．以EF的中點O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy．
（Ⅰ）求以E，F為焦點，且過C，D兩點的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）在（I）的條件下，過點F做直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，設，點T坐標為（2，0），若λ∈[-2，-1]，求||的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定E，F，C的坐標，利用橢圓的定義，求出幾何量，即可求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，結合配方法，即可求||的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得點E，F，C的坐標分別為（-1，0），（1，0），（1，）．
設橢圓的標準方程是．
則2a=|EC|+|FC|=＞2，∴a=，
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標準方程是．…（4分）
（Ⅱ）由題意容易驗證直線l的斜率不為0，故可設直線l的方程為x=ky+1，
代入中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數關系，得y₁+y₂=①，y₁y₂=②，…（7分）
因為，所以且λ＜0，所以將上式①的平方除以②，得，
即=，所以=，
由，
即．
∵=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∴=（x₁+x₁-4，y₁+y₂）
又y₁+y₂=，．
故=．…（11分）
令，因為，所以，，=，
因為，所以，．…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考試學生的計算能力，屬于中檔題．