Question

設(shè)函數(shù)f（α）=sinα+

3

cosα，其中，角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

，1），求f（α）的值；
（2）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角α的取值范圍，并求函數(shù)f（α）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)的定義，算出sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，代入即可得到求f（α）的值；
（2）作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部區(qū)域，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P并加以觀察，可得α∈[

π

4

，

π

2

]．利用輔助角公式化簡得f（α）=2sin（α+

π

3

），由α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，可得函數(shù)f（α）的最小值和最大值．

解答：解：（1）∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

，1），可得r=|OP|=

3+1

=2，
∴由三角函數(shù)的定義，得sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，
故f（α）=sinα+

3

cosα=

1

2

+

3

×

3

2

=2．
（2）作出不等式組

x+y≥1 y≥x y≤1

表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部區(qū)域，
其中A（0，1）、B（0.5，0.5），C（1，1），
∵P為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且P為角α終邊上的一點(diǎn)，
∴運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P與A點(diǎn)重合時(shí)，α=

π

2

達(dá)到最大值；
當(dāng)P與線段BC上一點(diǎn)重合時(shí)，α=

π

4

達(dá)到最小值．由此可得α∈[

π

4

，

π

2

]．
∵f（α）=sinα+

3

cosα=2sin（α+

π

3

），
∴由α∈[

π

4

，

π

2

]，可得α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]，
當(dāng)α+

π

3

=

5π

6

即α=

π

2

時(shí)，f（α）有最小值2sin

5π

6

=1；
當(dāng)α+

π

3

=

7π

12

即α=

π

4

時(shí)，f（α）有最大值2sin

7π

12

=

6 + 2

2

．
綜上所述函數(shù)f（α）的最小值為1，最大值為

6 + 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出角α終邊上的一點(diǎn)P，在P滿足特殊條件下求f（α）=sinα+

3

cosα的最值．著重考查了任意角三角函數(shù)的定義、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．