Question

如圖，一列載著危重病人的火車(chē)從O地出發(fā)，沿射線OA方向行駛，其中，在距離O地5a（a為正常數(shù)）千米，北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專(zhuān)家，其中，現(xiàn)120指揮中心緊急征調(diào)離O地正東p千米B處的救護(hù)車(chē)，先到N處載上醫(yī)學(xué)專(zhuān)家，再全速趕往乘有危重病人的火車(chē)，并在C處相遇．經(jīng)計(jì)算，當(dāng)兩車(chē)行駛的路線與OB所圍成的三角形OBC面積S最小時(shí)，搶救最及時(shí)．
（1）在以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)閥軸的直角坐標(biāo)系中，求射線OA所在的直線方程；
（2）求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式S=f（p）；
（3）當(dāng)p為何值時(shí)，搶救最及時(shí)？

Answer 1

【答案】分析：（1）由其中，我們根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，易求出直線OA的斜率，進(jìn)而得到OA所在直線的方程．
（2）由在距離O地5a（a為正常數(shù)）千米，北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專(zhuān)家，其中，我們可以得到直線BC的參數(shù)方程，聯(lián)立直線OA與BC的方程，可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，代入三角形面積公式，即可得到一個(gè)S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式S=f（p）；
（3）由（2）的結(jié)論，根據(jù)求函數(shù)最小值的方法，易得結(jié)論．
解答：解：（1）由得，
∴直線OA的方程為y=3x．
（2）設(shè)點(diǎn)N（x_o，y_o），則x_o=5asinβ=3a，y_o=5acosβ=4a，
∴N（3a，4a）又B（p，0），∴直線BC的方程為．
由得C的縱坐標(biāo)，
∴三角形OBC面積．
（3）由（2）知．
∵，∴∴時(shí)，．
因此，當(dāng)千米時(shí)，搶救最及時(shí)．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．