Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) f(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加;(2) a的取值范圍為(－∞，].

【解析】

(1)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分別令f′(x)<0，f′(x)>0

可求的單調(diào)區(qū)間；

(2求導(dǎo)得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號成立．故問題轉(zhuǎn)化為f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而對1－2a的符號進(jìn)行討論即可得出結(jié)果.

(1)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.

當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加

(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而當(dāng)1－2a≥0，即a≤時(shí)，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，從而當(dāng)a>時(shí)，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，f(x)<0，

綜上可得a的取值范圍為(－∞，]．