Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

2

n2+

1

2

n，
（1）求通項公式a_n的表達式；
（2）令b_n=a_n•2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）因為給出了數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

2

n2+

1

2

n，所以可用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1來求數(shù)列{a_n}的通項公式，再判斷n=1是否符合通項公式即可．
（2）把（1）中求出的數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=a_n•2^n-1，求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

1

2

n-

1

2

（n-1）²-

1

2

（n-1）=n，
當n=1時，a₁=S₁=1也適合上式，
∴通項公式a_n的表達式為a_n=n，
（2）b_n=a_n•2^n-1=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2×2¹+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
②-①得到，T_n=-（1•2⁰+1•2¹+…+1•2^n-1）+n•2ⁿ=（n-1）•2ⁿ+1
所以T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式與前n項和之間的關系，數(shù)列求和常見的方法有：分組求和，裂項法、倒序相加法以及錯位相減法求和．屬于中檔題．