Question

4．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng) a₁=1，公比q≠0，其前n項(xiàng)和為S_n，且 S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列
（1）求{a_n}通項(xiàng)公式
（2）若數(shù)列{ b_n}滿足$a_{n+1}={（\frac{1}{2}）}^{a_nb_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和 T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意列式求出等比數(shù)列的公比，代入通項(xiàng)公式得答案；
（2）由題意可知${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，結(jié)合$a_{n+1}={（\frac{1}{2}）}^{a_nb_n}$求得{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和 T_n．

解答 解：（1）由題意可知：2（S₃+a₃）=（S₁+a₁）+（S₂+a₂）
∴S₃-S₁+S₃-S₂=a₁+a₂-2a₃，
即4a₃=a₁，于是$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}={q}^{2}=\frac{1}{4}$，
∴q=$±\frac{1}{2}$．
∵a₁=1，∴${a}_{n}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$或${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）由$a_{n+1}={（\frac{1}{2}）}^{a_nb_n}$，可知a_n+1＞0，
即${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
且${a}_{n}_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n+1}=lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}）^{n}=n$，
則$_{n}=\frac{n}{{a}_{n}}=\frac{n}{（\frac{1}{2}）^{n-1}}=n•{2}^{n-1}$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1．
則$2{T}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+3•{3}^{3}+…+（n-1）•{2}^{n-1}+n•{2}^{n}$．
兩式作差得$-{T}_{n}=1+2+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}-n•{2}^{n}$=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n}={2}^{n}-1-n•{2}^{n}$．
∴${T}_{n}=（n-1）{2}^{n}+1$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．