Question

下列四個(gè)命題，
（1）a+b≥2

ab

，（2）sin²x+

4

sin2x

的最小值是4，
（3）設(shè)x，y∈R⁺，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y的最小值是4．
（4）若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|＜2ε．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令a=b=-1，即可判斷（1）的正誤；
（2）要使sin²x+

4

sin2x

≥2

sin2x+ 4 sin2x

=4中的“=”成立，必須sin²x=2，這是不可能的，從而可知（2）錯(cuò)誤；
（3）依題意，x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

），利用基本不等式可判斷（3）的正誤；
（4），利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可判斷（4）的正誤．

解答： 解：（1）a+b≥2

ab

，錯(cuò)誤，如a=b=-1，該式不成立，故（1）錯(cuò)誤；
（2）∵sin²x+

4

sin2x

≥2

sin2x+ 4 sin2x

=4當(dāng)且僅當(dāng)sin²x=

4

sin2x

，即sin²x=2時(shí)取到“=”，這是不可能的，故（2）錯(cuò)誤；
（3）∵x，y∈R⁺，

1

x

+

9

y

=1，
∴x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

）=1+9+

y

x

+

9x

y

≥10+2

y x • 9x y

=16，當(dāng)且僅當(dāng)x=4，y=12時(shí)取“=”，故（3）錯(cuò)誤；
（4）∵|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，
∴|x-y|=|（x-2）+（2-y）|＜|x-2|+|y-2|＜2ε，故（4）正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查基本不等式與絕對(duì)值不等式，屬于中檔題．