Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成的角．

Answer 1

分析：（I）欲證PB⊥DM，可先證PB⊥平面ADMN，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PB與平面ADMN內(nèi)兩相交直線垂直，而AN⊥PB，AD⊥PB，滿足定理?xiàng)l件；
（II）取AD的中點(diǎn)G，連接BG、NG，得到 BG∥CD，從而B(niǎo)G與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等，根據(jù)線面所成角的定義可知∠BGN是BG與平面ADMN所成的角，在Rt△BGN中求出此角的正弦值即可．

解答：解：（I）因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA=AB，
所以AN⊥PB．
因?yàn)锳D⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
從而PB⊥平面ADMN．
因?yàn)镈M?平面ADMN，
所以PB⊥DM．
（II）取AD的中點(diǎn)G，連接BG、NG，
則BG∥CD，
所以BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等．
因?yàn)镻B⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG與平面ADMN所成的角．
在Rt△BGN中，sin∠BGN=

BN

BG

=

10

5

．
故CD與平面ADMN所成的角是arcsin

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力．