Question

若橢圓（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線段F₁F₂被拋物線y²=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l和橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）由題意知，c+=3（c-），…（2分）
∴b=c，
∴a²=2b²，…（3分）
∴e===．…（5分）
（2）設(shè)直線l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），即2y₂+y₁=0，①…（7分）
由（1）知，a²=2b²，∴橢圓方程為x²+2y²=2b²，
由，消去x，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，
∴，…②
，…③
由①②知，，，…（9分）
∵=，
∴S=3•=3•≤3•=，…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)|k|²=2，即k=時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線的方程為x=或x=．…（12分）
又當(dāng)|k|²=2時(shí)，=-=-1，
∴由，得b²=，
∴橢圓方程為．…（14分）
分析：（1）由c+=3（c-），能夠求出橢圓的離心率．
（2）設(shè)直線l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知2y₂+y₁=0，由，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，再利用韋達(dá)定理，結(jié)合題設(shè)條件，能夠求出橢圓方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．