Question

已知函數(shù)f(x)=

a+sinx

2+cosx

-bx（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為2680，試求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)：
（1）是否存在實(shí)數(shù)b，使得f（x）在(0，

2π

3

)為增函數(shù)，(

2π

3

，π)為減函數(shù)，若存在，求出b的值，若不存在，請說明理由；
（2）如果當(dāng)x≥0時(shí)，都有f（x）≤0恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）第一問根據(jù)函數(shù)解析式的特征可以判斷b=0，再把函數(shù)變形后利用三角函數(shù)有界性來求解出函數(shù)的最值．
（II）第二問利用f（x）為奇函數(shù)求出a=0（1）中因?yàn)閤=

2π

3

是函數(shù)的極值即f′(

2

3

π)=0得出b=0（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性再利用其求出函數(shù)最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在x∈R上存在最大值和最小值，
∴b=0（否則f（x）值域?yàn)镽），
∴y=f(x)=

a+sinx

2+cosx

?sinx-ycosx=2y-a?|sin(x-?)|=

|2y-a|

1+y2

≤1?3y²-4ay+a²-1≤0，
又△=4a²+12＞0，由題意有ymin+ymax=

4

3

a=2680，
∴a=2010；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，∵x∈R，∴f（0）=0?a=0，
∴f(x)=

sinx

2+cosx

-bx，f′(x)=

2cosx+1

(2+cos)2

-b，
（1）若?b∈R，使f（x）在（0，

2

3

π）上遞增，在（

2

3

π，π）上遞減，
則f′(

2

3

π)=0，
∴b=0
并且當(dāng)x∈(0，

2

3

π)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x∈(

2

3

π，π)時(shí)f'（x）＜0，f（x）遞減，
∴當(dāng)b=0時(shí)滿足題意．
（2）①f′(x)=

-bcos2x+2(1-2b)cosx+1-4b

(2+cosx)2

△=4[（1-2b）²+b（1-4b）]=4（1-3b）
若△≤0，即b≥

1

3

，則f'（x）≤0對?x≥0恒成立，這時(shí)f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴f（x）≤f（0）=0，
②若b＜0，則當(dāng)x≥0時(shí)，-bx∈[0，+∞），

sinx

2+cosx

∈[-

3

3

，

3

3

]，f(x)=

sinx

2+cosx

-bx不可能恒小于等于0，
③若b=0，則f(x)=

sinx

2+cosx

∈[-

3

3

，

3

3

]不合題意，
④若0＜b＜

1

3

，
則f′(0)=

1-3b

3

＞0，f'（π）=-b-1＜0，
∴?x₀∈（0，π），使f'（x₀）=0，x∈（0，x₀）時(shí)，f'（x）＞0，
這時(shí)f（x）遞增，f（x）＞f（0）=0，不合題意，
綜上b∈[

1

3

，+∞)．

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)解三角函數(shù)題目，不僅方法新穎，而且簡單易懂，便于掌握．常見的三角函數(shù)有關(guān)的極（最）值、三角函數(shù)的單調(diào)性若能從導(dǎo)數(shù)這一角度去考慮將給我們展示一種全新的視野．