Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$，且圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離為π．
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[-π，π]上的值域；
（3）求（2）中g(shù)（x）在[$\frac{π}{3}$，$\frac{10π}{3}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意易得周期為π，可得ω，再由對(duì)稱軸可得φ值，可得解析式；
（2）由三角函數(shù)圖象變換真假求解函數(shù)的解析式即可．
（3）借助正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩個(gè)最底點(diǎn)的距離為π，
∴?（x）的最小正周期T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又∵f（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）；
x∈[-π，π]，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
g（x）在[-π，π]上的值域?yàn)�；[$-\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
（3）g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）；
∵$\frac{π}{3}≤x≤\frac{10π}{3}$，∴$\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤\frac{11π}{6}$，當(dāng)$\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，即：$\frac{π}{3}≤x≤\frac{2π}{3}$時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)$\frac{3π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤\frac{11π}{6}$，即$\frac{8π}{3}≤x≤\frac{10π}{3}$時(shí)g（x）單調(diào)遞增．
∴g（x）在[$\frac{π}{3}$，$\frac{10π}{3}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間：[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{8π}{3}$，$\frac{10π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的對(duì)稱性和最值，三角函數(shù)的平移變換，屬中檔題．