Question

在棱長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是A₁B₁上的一動點，平面PAD₁和平面PBC₁與對角面ABC₁D₁所成的二面角的平面角分別為α、β，試求α＋β的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：如下圖．對角面A1B1CD⊥對角面ABC1D1，其交線為EF．過P作PQ⊥EF于Q，則PQ⊥對角面ABC1D1．分別連PE、PF． 　　∵EF⊥AD1，PE⊥AD1(三垂線定理)．故由二面角的平面角定義知∠PFQ＝α， 　　同理，∠PFQ＝β． 　　設(shè)A1P＝x，(0≤x≤1)，則PB1＝1－x． 　　∵EQ＝A1P，QF＝PB1，PQ＝， 　　∴當(dāng)0＜x＜1時，有 　　tanα＝，tanβ＝， 　　∴tan(α＋β)＝＝ 　　＝ 　　而當(dāng)x＝0時α＝，tan(α＋β)＝tan(＋β)＝－cotβ＝－＝－，上式仍成立；類似地可以驗證．當(dāng)x＝1時，上式也成立，于是，當(dāng)x＝時，tan(α＋β)取最小值－2；當(dāng)x＝0或1時，tan(α＋β)取最大值－． 　　又∵0＜α＋β＜π， 　　∴(α＋β)max＝π－arctan 　　(α＋β)min＝π－arctan2