Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n為正整數(shù)）
（Ⅰ）求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若對任意正整數(shù)n，k≤S_n恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵3a_n+1+2S_n，①
∴當n≥2時，3a_n+2S_n-1=3．②
由 ①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0．
∴，n≥2．
又∵a₁=1，3a₂+2a₁=3，解得 ．
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
∴，（n為正整數(shù)）．…（7分）
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
∴=，
由題意可知，對于任意的正整數(shù)n，恒有k≤，
∵數(shù)列{1-}單調遞增，當n=1時，數(shù)列中的最小項為，即
∴必有k≤1，即實數(shù)k的最大值為1．…（14分）
分析：（Ⅰ）由3a_n+1+2S_n，知3a_n+2S_n-1=3．故3a_n+1-3a_n+2a_n=0．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=，由題意可知，對于任意的正整數(shù)n，恒有k≤，由此能求出實數(shù)k的最大值．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和等比數(shù)列前n項和公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數(shù)列與不等式的綜合應用．