Question

15．有N個人隨機(jī)等可能地?fù)宯（1≤n≤N）個紅包，紅包金額互不相同，且全部被搶光．
（1）若每人最多可以搶一個紅包，則有多少種結(jié)果？若每人可以搶多個紅包，則有多少種結(jié)果？
（2）記“某指定的人恰好搶到k（k≤n）個紅包”為事件A_k，求事件A_k的概率P（A_k）；
（3）求某指定的人搶到的紅包個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E（X），請寫出推理過程．

Answer 1

分析 （1）若每人最多可以搶一個紅包，則有${A}_{N}^{n}$種結(jié)果，若每人可以搶多個紅包，則有Nⁿ種結(jié)果．
（2）記“某指定的人恰好搶到k（k≤n）個紅包”為事件A_k，利用等可能事件概率計算公式能求出事件A_k的概率．
（3）當(dāng)n≥2時，kP（A_k）=$\frac{n}{N}{C}_{n-1}^{k-1}（1-\frac{1}{N}）^{n-k}（\frac{1}{N}）^{k-1}$，從而推導(dǎo)出E（X）=$\frac{n}{N}[（1-\frac{1}{N}）+（\frac{1}{N}）]^{n-1}$=$\frac{n}{N}$．當(dāng)n=1時，E（X）=$\frac{1}{N}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）若每人最多可以搶一個紅包，則有${A}_{N}^{n}$種結(jié)果，
若每人可以搶多個紅包，則有Nⁿ種結(jié)果．
（2）記“某指定的人恰好搶到k（k≤n）個紅包”為事件A_k，
則事件A_k的概率P（A_k）=$\frac{{C}_{n}^{k}（N-1）^{n-k}}{{N}^{n}}$．
（3）當(dāng)n≥2時，kP（A_k）=$\frac{k{C}_{n}^{k}（N-1）^{n-k}}{{N}^{n}}$=$\frac{n{C}_{n-1}^{k-1}（N-1）^{n-k}}{{N}^{n}}$
=$\frac{n}{N}{C}_{n-1}^{k-1}\frac{（N-1）^{n-k}}{{N}^{（n+k）+（k-1）}}$=$\frac{n}{N}{C}_{n-1}^{k-1}（1-\frac{1}{N}）^{n-k}（\frac{1}{N}）^{k-1}$，
又E（X）=0×P（A₀）+1×P（A₁）+2×P（A₂）+…+k×P（A_k）+…+n×P（A_n）
=$\frac{n}{N}$[${C}_{n-1}^{0}（1-\frac{1}{N}）^{n-1}（\frac{1}{N}）^{0}$+${C}_{n-1}^{1}（1-\frac{1}{N}）^{n-2}（\frac{1}{N}）$+…+${C}_{n-1}^{n-1}（1-\frac{1}{N}）^{0}（\frac{1}{N}）^{n-1}$]
=$\frac{n}{N}[（1-\frac{1}{N}）+（\frac{1}{N}）]^{n-1}$=$\frac{n}{N}$．
當(dāng)n=1時，E（X）=$\frac{1}{N}$，
綜上，E（X）=$\frac{n}{N}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．