Question

已知向量

a

=(2cosx，sinx)，

b

=(cosx，2

3

cosx)，函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，a=1且f（A）=3，求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知向量

a

=(2cosx，sinx)，

b

=(cosx，2

3

cosx)，函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1．我們根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算公式及輔助角公式易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合f（A）=3，我們易求出滿足條件的A角的大小，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，易求出bc≤1，代入△ABC面積S=

1

2

bcsinA，即可得到△ABC面積S的最大值．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）因?yàn)?nbsp;f(x)=

a

•

b

=2cosx2+2

3

sinx．cosx+1
=cos2x+

3

sin2x+2------（2分）
=2sin(2x+

π

6

)+2--------（3分）
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)--------（5分）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)-------（7分）
（2）f（A）=3，∴sin(2A+

π

6

)=10＜A＜π，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

6

-----------（9分）
a²=b²+c²-2bccosA，b²+c²≥2bc∴bc≤1-------------（12分）
∴S=

1

2

bcsinA≤

3

4

∴S的最大值為

3

4

---------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算公式及輔助角公式易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，（2）的關(guān)鍵是由已知條件及余弦定理得到bc≤1，是解答本題的關(guān)鍵．