Question

已知函數(shù)f（x）=-2x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a為常數(shù)．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函數(shù)，且h^′（x）存在零點(diǎn)（h^′（x）為h（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（1）求a的值；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）的圖象上兩點(diǎn)，（g^′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：x₁＜x＜x₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）把f（x）和g（x）代入得到h（x），求出h′（x），因?yàn)閔（x）是增函數(shù)，所以h′（x）≥0，根據(jù)h^′（x）存在零點(diǎn)討論a的取值為a＞1，利用△=0求出a即可；
（2）由（1）求出g′（x），利用構(gòu)造函數(shù)r（x），討論函數(shù)的增減性，得到x₁＜x＜x₂．
解答：解：（1）因?yàn)閔（x）=x²-2x+log_a^x （x＞0），
所以h′（x）=x-2+=．
因?yàn)閔（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．
若0＜a＜1，則lna＜0，于是x²lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零點(diǎn)，故△=（-2lna）²-4lna=0，lna=0，或lna=1與lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x²lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零點(diǎn)，故△=（-2lna）²-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x）=，于是=，x=
以下證明x₁＜（※）
（※）等價(jià)于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0．
令r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x
r′（x）=lnx₂-lnx，在（0，x₂]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x₂]上為增函數(shù)．
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，r（x₁）＜r（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，
從而x＞x₁得到證明．
對(duì)于x₂＞同理可證，所以x₁＜x＜x₂．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，理解函數(shù)零點(diǎn)的意義，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．