Question

【題目】下列說法：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[﹣1，a]）是偶函數(shù)，則實數(shù)b=﹣2；
②f（x）= + 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
③若f（x+2）= ，當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）=2x ， 則f（2015）=2；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），則f（x）是奇函數(shù)．其中所有正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①由函數(shù)在區(qū)間[﹣1，a]上為偶函數(shù)可得：a=1，所以f（x）=x2+（2+b）x+2，
因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以對稱軸 ，故b=﹣2，故①正確；
②易知函數(shù)的定義域為 ，此時f（x）=0，既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)，故②正確；
③由 ，可得 ，故函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，所以f（2015）=f（3），
又f（3）=f（1+2）= = ，即 ，故③錯誤；
④令x=y=1，可得：f（1）=0，令x=y=﹣1，得f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1），故f（﹣1）=0，
令y=﹣1可得：f（﹣x）=xf（﹣1）﹣f（x）=﹣f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)，所以④正確．
所以答案是：①②④．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱才能正確解答此題．